Calcolo combinatorio con Microsoft Excel – Lezione n. 1

Tra i tanti argomenti studiati in Statistica uno che sicuramente mi ha affascinato è quello relativo al calcolo combinatorio. Che significa calcolo combinatorio?

La definizione riportata da Wikipedia è la seguente:

Il calcolo combinatorio è il termine che denota tradizionalmente la branca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordinare secondo date regole gli elementi di un insieme finito di oggetti. Il calcolo combinatorio si interessa soprattutto di contare tali modi, ovvero le configurazioni e solitamente risponde a domande quali “Quanti sono…”, “In quanti modi…”, “Quante possibili combinazioni…” eccetera.

Più formalmente, dato un insieme S di n oggetti si vuole contare le configurazioni che possono assumere k oggetti tratti da questo insieme. Prima di affrontare un problema combinatorio bisogna precisare due punti importanti:

  • Se l’ordinamento è importante, ovvero se due configurazioni sono le stesse a meno di un riordinamento ({x,y,z} è uguale a {z,x,y}?)
  • Se si possono avere più ripetizioni di uno stesso oggetto, ovvero se uno stesso oggetto dell’insieme può o meno essere riusato più volte all’interno di una stessa configurazione.

La definizione potrebbe risulta un po’ ostica così a primo impatto, vediamo di renderla un po’ più semplice. Facciamo un esempio: prendiamo i numeri 1, 2, 3. Vogliamo sapere quanti raggruppamenti posso effettuare con questi numeri, prendendoli tutti e 3 assieme, che almeno differiscano uno dall’altro per l’ordine con cui sono all’interno del raggruppamento. Avremo dunque: 1-2-3, 1-3-2, 2-1-3, 2-3-1, 3-1-2, 3-2-1. La questione è: c’è una formula che mi aiuta a fare il calcolo senza doverlo ogni volta effettuarlo manualmente.

Innanzitutto le possibilità di calcolo combinatorio sono 6:

1) disposizioni semplici;

2) disposizioni con ripetizione;

3) Permutazioni semplici;

4) Permutazioni con ripetizione;

5) Combinazioni semplici;

6) Combinazioni con ripetizione.

 

DISPOSIZIONI SEMPLICI

Si chiamano disposizioni semplici di n oggetti distinti tra loro di classe k, con k<n, tutti i possibili raggruppamenti che si possono formare prendendo k oggetti fra gli n dati, con la condizione che ciascun gruppo differisca da un altro o per l’ordine con cui gli oggetti sono collocati o per un oggetto medesimo.

Ritorniamo all’esempio del nostro gruppetto di numero 1,2,3. Dobbiamo quindi capire quante disposizioni semplici esistono prendendo tanti possibili gruppetti di numeri a due a due. Il risultato sarà: 1-2, 1-3, 2-1, 2-3, 3-1, 3-2. In totale avremo quindi 6 gruppi.

In linguaggio matematico la disposizione semplice è scritta in questo modo:

Nel nostro caso avremo quindi:

Immaginiamo adesso di avere 9 oggetti e di voler scoprire quante disposizioni semplici esistono prendendo questi oggetti 5 alla volta. Il calcolo è presto fatto.

 

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